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r2
ツイ数平面の層
ツイ数平面は連続な $\mathbb R^2$ ではない。操作の DAG が生む点の網と、それを支える領域の組になる。
$$
\text{ツイ数平面}
=\Pi_i\ \sqcup_{\ \mathbb R\text{-軸}}\ \Pi_j
$$
$\Pi_i$ は $\omega$ の非対称性を参照して出る半平面、$\Pi_j$ は $\omega^-$ の側になる。
両者は実軸でだけ接続する。
$$
i^2=-1,
\qquad
j^2=+1\ \ (j\neq1,\ j\neq-1)
$$
座標的に $(1,1)$ と書ける位置は、和ではなく「$O$ に操作 $ij$ を当てて到達した端点」になる。
履歴 $\mathsf{Trace}$
構成履歴は $\sigma^\varepsilon a$ の形で持つ。複製できない（構成語 §3.5）。
| 音節 | 記号 | 型 | 意味 |
|---|---|---|---|
re |
$\mathsf{trace}$ | $I\to T$ | 原点 $O$ に立つ |
sa |
$i$ | $T\to T$ | 構成生成元 $i$ を当てる |
si |
$j$ | $T\to T$ | 構成生成元 $j$ を当てる |
ke |
$\mathrm{id}$ | $T\to T$ | 恒等道。値も箱も動かない |
su |
$\ominus$ | $T\to T$ | 履歴の負化 |
ro |
$\rho^-$ | $T\to T$ | 境界射 $H^+\to H^-$ |
wa |
$\rho^+$ | $T\to T$ | 境界射 $H^-\to H^+$ |
出口は四語になる：$m$、$\varepsilon$、spot、符号。
re ka ke ka → 0 0 1 1 恒等道は履歴を動かさない
re ka ro ka → 0 0 -1 -1 ρ⁻ は spot と符号を反転する
re ka wa ka → 0 0 1 1 j² = +1 なので ρ⁺ は値を動かさない
re ka su → 0 0 -1 -1 履歴の負化は ρ⁻ と同じ式になる
examples/vocabulary/ の ke_id ro_rho_minus wa_rho_plus su_trace_neg
点 $\mathsf{Point}$
wi — $\operatorname{endpoint}$ $T\to P$
履歴の終点を座標へ落とす。正準点は構成語 §7.4 の並びになる。
$$
\mathcal A={O,\ \omega,\ \omega^-,\ i,\ j,\ p_{++},\ p_{-+},\ p_{+-},\ p_{--}}
$$
| 音節 | 記号 | 型 | 意味 |
|---|---|---|---|
ko |
$\mathrm{id}_{\mathrm{coord}}$ | $P\to P$ | 座標の恒等道 |
ta |
$\oplus_{\mathrm{coord}}$ | $P\otimes P\to P$ | 平行四辺形則。深い側へそろえる |
de |
実成分 | $P\to P$ | $(r,\omega)\mapsto(r,0)$ |
do |
無限成分 | $P\to P$ | $(r,\omega)\mapsto(\omega,0)$ |
re ka wi ka ko → 1 0
re ka sa ka si ka wi ka de → 1 0
re ka wi ka re ki ka wi ki ka ta → 2 0
折返し $\mathsf{Reflection}$
$D_4$ の八元を持つ。合成は符号つき置換の積になるので、表を写さずに済む。
| 番号 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 折返し | $E$ | $R_r$ | $R_\omega$ | $R_{ij}$ | $R_{ji}$ | $Q_+$ | $Q_-$ | $C_\pi$ |
| 音節 | 記号 | 型 |
|---|---|---|
wu |
$E$ | $I\to R$ |
we |
$R_r$ | $I\to R$ |
wo |
$R_{ij}$ | $I\to R$ |
ga |
合成 | $R\otimes R\to R$ |
gi |
$\operatorname{act}$ | $R\otimes P\to P$ |
$R$ が引数つきの一箱でなく四箱に分かれているのは、平文が正準添字を書けないためになる（16 §3.1）。
§7.3 の生成関係が八元すべてを合成で出すので、表現力はそろう。
wu → 0 恒等
we wo ka ga → 5 R_r · R_ij = Q_+
五語でツイ数平面を歩く
examples/cmn/tsuisuu.cmn
we re ka, ki sa ka, ki si ka, ki wi ka, gi ka.
| 層 | 音節 | 箱 | frontier |
|---|---|---|---|
| 0 | we re |
$R_r$ を立てる、履歴 $O$ に立つ | $\mathsf{Reflection}\otimes\mathsf{Trace}$ |
| 1 | ki sa |
素通し、$i$ | 同上 |
| 2 | ki si |
素通し、$j$ | 同上 |
| 3 | ki wi |
素通し、$\operatorname{endpoint}$ | $\mathsf{Reflection}\otimes\mathsf{Point}$ |
| 4 | gi |
$\operatorname{act}$ | $\mathsf{Point}$ |
$i$ の後に $j$ を当てた履歴の終点は $ij=(+1,+1)=p_{++}$ になり、実軸反転がそれを $p_{+-}$ へ送る。
$$
\operatorname{act}\bigl(R_r,\ \operatorname{endpoint}(O\,i\,j)\bigr)=R_r(p_{++})=p_{+-}=(1,-1)
$$
出口は $1$ と $-1$ になる。
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